행렬과 사다리꼴
Def.
- 계수행렬
- 연립일차방정식의 미지수들의 계수로 이뤄진 행렬
- 첨가계수행렬
- 상수항을 계수행렬에 첨가한 행렬
ex)
\(\begin{align*} \begin{cases} \phantom{-}2x+\phantom{0}y -\phantom{0}z &= 3 \\ \phantom{-0}x \phantom{-0y} \phantom{0}+ 5z &= 1 \\ \phantom{}-x +3y -2z &= 0 \\ \end{cases} \end{align*}\) 의
계수행렬: $ \begin{bmatrix} \phantom{-}2 & \phantom{-}1 & -1 \\ \phantom{-}1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}5 \\ -1 & \phantom{-}3 & -2 \end{bmatrix} $
$( = A )$
첨가계수행렬: $ \left[ \begin{array}{cc|c} \phantom{-}2 & \phantom{-}1 & -1 \\ \phantom{-}1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}5 \\ -1 & \phantom{-}3 & -2 \end{array} \right] $
$( = \left[ \ A | \overrightarrow{b} \ \right] )$
Def.
다음 성질을 만족하는 행렬을 행사다리꼴이라 한다.
- 모든 성분이 $ 0 $인 항은 아래 쪽에 있다.
- 적어도 한 성분이 $ 0 $인 행에서,
처음으로 $ 0 $이 아닌 성분,
즉, 선행선분leading entry은 아래 행에 있는 선행선분의 왼쪽 열에 위치한다.
일차방정식linear equation이라 한다.
여기서 계수 \( a_1, \ …, \ a_n \)과 상수항 \( b \)는 상수이다.
일차방정식의 해solution는 \( x_1 = s_1, \ …, \ x_n = s_n \)을 대입할 때
방정식을 만족하는 벡터 \( \left[ s_1 , \ …, \ s_n \right] \)이다.
연립일차방정식의 해법
- 두 연립일차방정식이 같은 해집합을 가질 때
동치equivalent라고 한다.
ex)
\(\begin{align*} \begin{cases} x-y &= 1 \\ x+y &= 3 \end{cases} \end{align*}\)
\(\begin{align*} \begin{cases} x-y &= 1 \\ y &= 1 \end{cases} \end{align*}\)
$ \quad \quad \Rightarrow $ 해: $ \left[ 2, \ 1 \right] $
- 주어진 연립방정식을
풀기 쉬운 동치인 연립방정식으로 바꿔서 해를 구한다.
ex)
\(\begin{align*} \begin{cases} x-y - \ \ z &= 2 \\ \ \ \ \ \ \ \ y + 3z &= 5 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 5z &= 10 \end{cases} \end{align*}\)
(후진 대입법 이용)
$ \quad \quad \Rightarrow $ \(\begin{align*} z &= 2, \\ y &= 5 - 3 \times 2 = -1, \\ x &= 2 + (-1) + 2 = 3 \\ \end{align*}\)
$ \therefore \ \ $ 해: $ \left[ 3, \ -1, \ 2 \right] $