연립일차방정식
Def.
\( n \)개의 미지수 \( x_1, \ …, \ x_n \)에 대해서
\( a_1 x_1 + \cdots + a_n x_n = b \)의 형태로 표현되는 방정식을
일차방정식linear equation이라 한다.
여기서 계수 \( a_1, \ …, \ a_n \)과 상수항 \( b \)는 상수이다.
일차방정식의 해solution는 \( x_1 = s_1, \ …, \ x_n = s_n \)을 대입할 때
방정식을 만족하는 벡터 \( \left[ s_1 , \ …, \ s_n \right] \)이다.
연립일차방정식의 해법
- 두 연립일차방정식이 같은 해집합을 가질 때
동치equivalent라고 한다.
ex)
\(\begin{align*} \begin{cases} x-y &= 1 \\ x+y &= 3 \end{cases} \end{align*}\)
\(\begin{align*} \begin{cases} x-y &= 1 \\ y &= 1 \end{cases} \end{align*}\)
$ \quad \quad \Rightarrow $ 해: $ \left[ 2, \ 1 \right] $
- 주어진 연립방정식을
풀기 쉬운 동치인 연립방정식으로 바꿔서 해를 구한다.
ex)
\(\begin{align*} \begin{cases} x-y - \ \ z &= 2 \\ \ \ \ \ \ \ \ y + 3z &= 5 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 5z &= 10 \end{cases} \end{align*}\)
(후진 대입법 이용)
$ \quad \quad \Rightarrow $ \(\begin{align*} z &= 2, \\ y &= 5 - 3 \times 2 = -1, \\ x &= 2 + (-1) + 2 = 3 \\ \end{align*}\)
$ \therefore \ \ $ 해: $ \left[ 3, \ -1, \ 2 \right] $