스칼라곱
(scalar/dot product) 길이, 거리, 각의 벡터 형식은 두 벡터의 스칼라곱의 표현을 사용하여 나타낼 수 있다.
Def.
\( \overrightarrow{u} = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{bmatrix} \), \( \ \ \overrightarrow{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} \ \)이면,
\( \overrightarrow{u} \ \)와 \( \ \overrightarrow{v} \ \)의 스칼라곱(스칼라적) \( \ \overrightarrow{u} \ \cdot \ \overrightarrow{v} \ \)는
\( \overrightarrow{u} \ \cdot \ \overrightarrow{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + \cdots + u_n v_n \)으로 정의한다.
Thm 1.1
\( \overrightarrow{u}, \ \overrightarrow{v}, \ \overrightarrow{w} \ \)가 \( \ \mathbb{R}^n \)의 벡터이고 \( \ c \)가 스칼라이면,
- (a) \( \overrightarrow{u} \ \cdot \ \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} \ \cdot \ \overrightarrow{u} \)
(교환법칙) - (b) \( \overrightarrow{u} \ \cdot ( \ \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} \ ) = \overrightarrow{u} \ \cdot \ \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \ \cdot \ \overrightarrow{w} \)
(분배법칙) - (c) \( ( c \ \overrightarrow{u} \ ) \cdot \ \overrightarrow{v} = c \ ( \ \overrightarrow{u} \ \cdot \ \overrightarrow{v} \ ) \)
- (d) \( \overrightarrow{u} \ \cdot \ \overrightarrow{u} \ge 0 \)이고, \( \overrightarrow{u} \ \cdot \ \overrightarrow{u} = 0 \)
\( \quad \quad \quad \quad \quad \Longleftrightarrow \)
\( \quad \quad \quad \quad \quad \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0} \)
길이
\( \mathbb{R}^n \)의 벡터 \( \overrightarrow{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} \)의 길이 또는 크기는
\( \left| \left| \ \overrightarrow{v} \ \right| \right| = \sqrt{ \ \ \overrightarrow{v} \ \cdot \ \overrightarrow{v} \ \ } = \sqrt{ {v_1}^2 + \cdots + {v_n}^n } \)으로
정의된 음이 아닌 스칼라이다.
Thm 1.3
\( \overrightarrow{v} \ \)가 \( \ \mathbb{R}^n \)의 벡터이고 \( c \)가 스칼라이면,
(a) \( \lVert \overrightarrow{v} \rVert = 0 \)
(b) \( \left\vert c \ \overrightarrow{v} \right\vert = \left\vert c \right\vert \ \lVert \overrightarrow{v} \rVert \)
단위벡터unit vector
: 길이가 1인 벡터
Thm. 코시-슈바르츠 부등식
\( \mathbb{R}^n \ \)의 임의의 벡터 \( \overrightarrow{u}, \ \overrightarrow{v} \)에 대하여
\( \left\vert \ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} \ \right\vert \le \lVert \overrightarrow{u} \rVert \ \lVert \overrightarrow{v} \rVert \)이다.
Thm. 삼각 부등식
\( \lVert \ \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \ \rVert \le \lVert \overrightarrow{u} \rVert + \lVert \overrightarrow{v} \rVert \)이다.
두 벡터 사이의 거리
두 벡터 \( \overrightarrow{u}, \ \overrightarrow{v} \)에 대하여,
\( d(\overrightarrow{u}, \ \overrightarrow{v}) = \lVert \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} \rVert \)로 정의.
두 벡터 사이의 각 θ
\( \cos \theta = \dfrac{ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} }{ \lVert \overrightarrow{u} \rVert \lVert \overrightarrow{v} \rVert } \)를 만족하는 \( 0 \le \theta \le \pi \)로 정의.
직교/수직
\( \mathbb{R}^n \)의 벡터 \( \overrightarrow{u}, \ \overrightarrow{v} \)는
\( \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0 \)일 때,
서로 수직(또는 직교)이라고 한다.
피타고라스 정리
\( \mathbb{R}^n \)에 있는 임의의 벡터 \( \overrightarrow{u}, \ \overrightarrow{v} \)에 대하여
\( { \lVert \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \rVert }^2 = { \lVert \overrightarrow{u} \rVert }^2 + { \lVert \overrightarrow{v} \rVert }^2 \)
\( \quad \quad \quad \quad \Longleftrightarrow \)
\( \quad \quad \overrightarrow{u} \)와 \( \overrightarrow{v} \)가 직교
사영
목표
: 한 점( \( B \) )에서 직선( \( l \) )까지의 최단거리를 기하학적으로 이해해보기.
Def.
\( \overrightarrow{v} \) 의 종점에서 \( \overrightarrow{u} \) 위로 수직으로 내려 얻어지는 벡터를
\( \overrightarrow{u} \) 위로의 \( \overrightarrow{v} \ \)의 사영 이라 정의한다.
이를 \( \text{proj}_{ \overrightarrow{u} } \ ( \ \overrightarrow{v} \ ) \)라고 표기하면,
\( \text{proj}_{ \overrightarrow{u} } \ ( \ \overrightarrow{v} \ ) = \dfrac{ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} }{ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} } \)를 만족한다.
\( \overrightarrow{p} = \text{proj}_\overrightarrow{v} \) 를 구하기
\( \text{sol)} \ \ \overrightarrow{p} = a \ \overrightarrow{u} \ \)라고 하고 \( a \)를 구하기.
피타고라스의 정리에 의해서
\( \begin{matrix} { \lVert \overrightarrow{v} \rVert }^2 &=& { \lVert a \ \overrightarrow{u} \rVert }^2 + { \lVert \overrightarrow{v} - a \ \overrightarrow{u} \rVert }^2 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ &=& a^2 \ { \lVert \overrightarrow{u} \rVert }^2 + { \lVert \overrightarrow{v} \rVert }^2 + a^2 \ { \lVert \overrightarrow{u} \rVert }^2 - 2 a \ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} \end{matrix} \)
\( \Longrightarrow 2a^2 \ { \lVert \overrightarrow{u} \rVert }^2 = 2a \ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} \)
\( \therefore a = \dfrac{ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} }{ { \lVert \overrightarrow{u} \rVert }^2 } \overrightarrow{u} \)이므로,
\( \overrightarrow{p} = \text{proj}_{ \overrightarrow{u} } \ ( \ \overrightarrow{v} \ ) = \dfrac{ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} }{ { \lVert \overrightarrow{u} \rVert }^2 } \overrightarrow{u} \)