벡터
Def.
- \( \overrightarrow{OA} \) : 점 \( A \)의 위치벡터.
\( A = (a_1, \ a_2) \) 이면, \( \ \overrightarrow{OA} = [ a_1, \ a_2 ] \) 또는 \( \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} \) - \( \overrightarrow{0} \) : 점 \( 0 = (0, 0) \)의 위치벡터.
벡터의 같음
두 벡터가 길이가 같고 방향이 같으면,
“두 벡터가 같다”고 정의한다.
벡터의 덧셈
\( \overrightarrow{u} = [ u_1, u_2 ], \ \ \overrightarrow{v} = [ v_1, v_2 ] \)에 대하여,
\( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = [ u_1 + v_1, \ u_2 + v_2 ] \)로 정의.
스칼라 배
실수 \( c \ \)에 대하여,
\( c \overrightarrow{u} = [ cu_1 , \ cu_2 ] \)로 정의.
두 벡터의 차
\( \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} + (- \overrightarrow{v} \ ) \)로 정의.
실수에서의 벡터
( \( \mathbb{R}^n \)에서의 벡터 )
\( [ v_1, v_2, \ …, v_n ] \) 또는 \( \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} \)으로 표기.
Thm 1.1
\( \mathbb{R}^n \)에서의 벡터의 대수적 성질
\( \overrightarrow{u}, \ \overrightarrow{v}, \ \overrightarrow{w} \ \)가 \( \ \mathbb{R}^n \)의 벡터들이고
\( c, d \)는 스칼라라고 하자.
그러면,
- \( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \quad \) (교환법칙)
- \( ( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \ ) + \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} + ( \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} \ ) \quad \) (결합법칙)
- \( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{u} \)
- \( \overrightarrow{u} + ( - \overrightarrow{u} \ ) = \overrightarrow{0} \)
- \( c ( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \ ) = c \overrightarrow{u} + c \overrightarrow{v} \)
- \( ( c + d ) \overrightarrow{u} = c \overrightarrow{u} + d \overrightarrow{u} \)
- \( c ( d \ \overrightarrow{u} \ ) = ( c d ) \overrightarrow{u} \)
- \( 1 \ \overrightarrow{u} = \overrightarrow{u} \)
일차결합linear combination
Def.
\( \overrightarrow{v} = c_1 \ \overrightarrow{v_1} + c_2 \ \overrightarrow{v_2} + \cdots + c_k \ \overrightarrow{v_k} \ \)인 스칼라 \( \ c_1, \ …, \ c_k \)가 존재하면,
\( \overrightarrow{v} \ \)를 \( \ \overrightarrow{v_1}, \ …, \ \overrightarrow{v_k} \ \)의 일차결합 이라고 한다.
이때, 스칼라 \( c_1, \ c_2, \ …, c_k \ \)를 주어진 일차결합이 계수coefficient라고 한다.
※ 좌표평면 위의 임의의 점의 위치벡터 \( [ x, y ] \)는 \( \overrightarrow{e_1}, \ \overrightarrow{e_2} \ \)의 일차결합으로 표현된다.
즉, \( \ [x, \ y ] = x \ \overrightarrow{e_1} + y \ \overrightarrow{e_2} \).