1.1. 벡터기하와 대수

벡터

Def.

$\vec{O A}$ : 점 $A$ 의 위치벡터.
$A = (a_{1}, a_{2})$ 이면, $\vec{O A} = [a_{1}, a_{2}]$ 또는 $[\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix}]$
$\vec{0}$ : 점 $0 = (0, 0)$ 의 위치벡터.

벡터의 같음

두 벡터가 길이가 같고 방향이 같으면,
“두 벡터가 같다”고 정의한다.

벡터의 덧셈

$\vec{u} = [u_{1}, u_{2}], \vec{v} = [v_{1}, v_{2}]$ 에 대하여,
$\vec{u} + \vec{v} = [u_{1} + v_{1}, u_{2} + v_{2}]$ 로 정의.

스칼라 배

실수 $c$ 에 대하여,
$c \vec{u} = [c u_{1}, c u_{2}]$ 로 정의.

두 벡터의 차

$\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (- \vec{v})$ 로 정의.

실수에서의 벡터

( $R^{n}$ 에서의 벡터 )
$[v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}]$ 또는 $[\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix}]$ 으로 표기.

Thm 1.1

$R^{n}$ 에서의 벡터의 대수적 성질
$\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ 가 $R^{n}$ 의 벡터들이고
$c, d$ 는 스칼라라고 하자.
그러면,

$\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$ (교환법칙)
$(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})$ (결합법칙)
$\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}$
$\vec{u} + (- \vec{u}) = \vec{0}$
$c (\vec{u} + \vec{v}) = c \vec{u} + c \vec{v}$
$(c + d) \vec{u} = c \vec{u} + d \vec{u}$
$c (d \vec{u}) = (c d) \vec{u}$
$1 \vec{u} = \vec{u}$

일차결합linear combination

Def.
$\vec{v} = c_{1} \vec{v_{1}} + c_{2} \vec{v_{2}} + \dots + c_{k} \vec{v_{k}}$ 인 스칼라 $c_{1}, \dots, c_{k}$ 가 존재하면,
$\vec{v}$ 를 $\vec{v_{1}}, \dots, \vec{v_{k}}$ 의 일차결합 이라고 한다.
이때, 스칼라 $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{k}$ 를 주어진 일차결합이 계수coefficient라고 한다.

※ 좌표평면 위의 임의의 점의 위치벡터 $[x, y]$ 는 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 의 일차결합으로 표현된다.
즉, $[x, y] = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ .